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Erster Entwurf des Kapitels zum Differentialformenkalkül

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% Bold letters
\newcommand*{\ba}{\bm{a}}
\newcommand*\bb{\bm{b}}
\newcommand*{\bb}{\bm{b}}
\newcommand*{\bd}{\bm{d}}
\newcommand*{\be}{\bm{e}}
\newcommand*{\bh}{\bm{h}}
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\newcommand*{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand*\bp{\bm{p}}
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\newcommand*{\bp}{\bm{p}}
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\newcommand*{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand*\bx{\bm{x}}
\newcommand*{\bx}{\bm{x}}
\newcommand*{\by}{\bm{y}}
\newcommand*\bA{\bm{A}}
......@@ -7383,6 +7387,567 @@ Damit gilt insbesondere
\end{align}
\section{Finite Elemente und die äußere Algebra}
Der Inhalt dieses Abschnitts kommt weitestgehend aus~\cite{hiptmair:2002}.
\medskip
Wir schauen uns noch einmal die ersten beiden Maxwell-Gleichungen an:
\begin{itemize}
\item Faradaysches Gesetz: $\curl \bE = -i \omega \bB$
\item Ampèresches Gesetz: $\curl \bH = i \omega \bD + \bj$
\end{itemize}
Dabei ist
\begin{itemize}
\item $\bE$ die (komplexe Amplitude der) Feldstärke
\item $\bB$ die magnetische Flussdichte
\item $\bD$ die elektrische Flussdichte
\item $\bH$ die magnetische Feldstärke.
\end{itemize}
Sind $\bE$, $\bB$, $\bD$, $\bH$ einfach Vektorfelder, oder steckt mehr dahinter?
\medskip
Wir schreiben die ersten zwei Gleichungen in der Integralform
\begin{align*}
\text{Faraday:}
\int_{\partial \Sigma} \bE \cdot \bt\,ds
& =
- i \omega \int_{\Sigma} \bB \cdot \bn\,dS\\
%
\text{Ampère:}
\int_{\partial \Sigma} \bH \cdot \bt\,ds
& =
i \omega \int_{\Sigma} \bD \cdot \bn\,dS + \int_{\Sigma} \bj \cdot \bn\,dS.
\end{align*}
Diese Gleichungen sollen für alle beschränkten stückweise glatten Flächen in $\R^3$
gelten.
\medskip
Man sieht daran dass es zwei Arten von Unbekannten gibt:
\begin{itemize}
\item $\bE$ und $\bH$ gehören zu Pfaden,
\item $\bB$, $\bD$ und $\bj$ gehören zu Flächenstücken.
\end{itemize}
\todo[inline]{Brauchen wir die folgende Definition überhaupt?}
\begin{definition}
Eine Integralform vom Grad $l \in \mathbb{N}_0$, $0 \le l \le n$, $n \in \mathbb{N}$
auf einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit $\mathcal{M}$ ist eine stetige,
additive Abbildung von der Menge $\mathcal{S}_l(\mathcal{M})$ aller kompakten,
orientierbaren $l$-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten von $\mathcal{M}$
in die komplexen Zahlen.
Die Menge aller $l$-Integralformen auf $\mathcal{M}$ bildet den Vektorraum
$\mathcal{F}^l(\mathcal{M})$.
\end{definition}
Additiv heißt: Wenn $\Sigma_1 \cap \Sigma_2 = \emptyset$ dann gilt
$\omega (\Sigma_1 \cup \Sigma_2) = \omega(\Sigma_1) + \omega(\Sigma_2)$.
\medskip
Man sieht direkt:
\begin{itemize}
\item $\bE$ und $\bH$ sind 1-Integralformen,
\item $\bB$, $\bD$ und $\bj$ sind 2-Integralformen.
\end{itemize}
Die lokale Sichtweise:
\begin{itemize}
\item Um die Feldstärke $\bE(\bx)$ an einem Punkt $\bx$ im Raum zu messen
bestimmen wir
\begin{equation*}
\delta w = q \bE(\bx) \cdot \delta\bx,
\end{equation*}
d.h.\ die Arbeit $\delta w \in \R$ die geleistet wird, wenn eine Testladung $q$
von $\bx$ aus eine kleine Verschiebung $\delta \bx \in \R^3$ erfährt.
\medskip
Wir können $\bE(\bx)$ also als Linearform
\begin{equation*}
\bE(\bx) : \R^3 = T_{\bx}\R^3 \to \R,
\qquad
\delta\bx \mapsto q \bE(\bx) \cdot \delta \bx
\end{equation*}
interpretieren.
\item Die magnetische Induktion $\bB$ wird durch die Lorentzkraft gemessen,
d.h., die Arbeit
\begin{equation*}
\delta w = q (\bB(\bx) \times \bv) \cdot \delta \bx
\end{equation*}
die benötigt wird, um eine Ladung $q$, die sich mit Geschwindigkeit $\bv$ bewegt,
um $\delta \bx \in \R^3$ abzulenken.
Wir können $\bB(\bx)$ also als Bilinearform interpretieren:
\begin{equation*}
\bB(\bx) : T_{\bx} \R^3 \times T_{\bx} \R^3 \to \R,
\qquad
\bB(\bx)(\bv,\delta\bx) = q(\bB(\bx) \times \bv) \cdot \delta \bx.
\end{equation*}
Diese Bilinearform ist antisymmetrisch, da
\begin{equation*}
\bB(\bx)(\bv,\delta\bx) = - \bB(\bx)(\delta\bx, \bv).
\end{equation*}
\end{itemize}
\begin{definition}
Sei $V$ ein Vektorraum. Eine (alternierende) $l$-Form auf $V$ ist eine Abbildung
\begin{equation*}
\omega : \underbrace{V \times V \times \dots \times V}_{\text{$l$ mal}} \to \R
\qquad
\text{(oder $\mathbb{C}$)},
\end{equation*}
linear in jedem Argument, und so dass das Vertauschen zweier Argumente das
Vorzeichen wechselt.
Der Vektorraum all dieser Abbildungen heißt $\bigwedge^l(V)$.
\end{definition}
\begin{definition}
Eine Differentialform vom Grad $l \in \N_0$ auf einer glatten $n$-Mannigfaltigkeit
ist eine glatte Abbildung, die jedem $\bx \in \mathcal{M}$ ein Element aus
$\bigwedge^l(T_{\bx} \mathcal{M})$ zuordnet.
Die Abbildungen bilden den Vektorraum $\mathcal{DF}^l(\mathcal{M})$.
\end{definition}
Durch Riemann-Summation kann man aus Differentialformen Integralformen machen.
\medskip
Wir betrachten jetzt den Spezialfall $\mathcal{M} = \R^3$.
Dann ist $T_{\bx}\mathcal{M}$ isomorph zu $\R^3$ für alle $\bx$.
Man bekommt Isomorphismen $\Upsilon_l$ zwischen Differentialformen $0 \le l \le 3$
und bestimmten Funktionen oder Vektorfeldern.
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l|l}
Ordnung & Differentialform & Funktion $u$ oder Vektorfeld $\bu$ \\
0 & $\bx \mapsto \omega(\bx)$ & $u(\bx) = \omega (\bx)$ \\
1 & $\bx \mapsto \{ \bv \mapsto \omega(\bx)(\bv)\}$
& $\langle \bu(\bx),\bv \rangle = \omega(\bx)(\bv)$ \\
%
2 & $\bx \mapsto \{ (\bv_1,\bv_2) \mapsto \omega(\bx)(\bv_1,\bv_2)\}$
& $\langle \bu(\bx),\bv_1 \times \bv_2 \rangle = \omega(\bx)(\bv_1,\bv_2)$ \\
%
3 & $\bx \mapsto \{ (\bv_1,\bv_2,\bv_2) \mapsto \omega(\bx)(\bv_1,\bv_2,\bv_3)\}$
& $u(\bx) \det(\bv_1,\bv_2,\bv_3) = \omega(\bx)(\bv_1,\bv_2,\bv_3)$
\end{tabular}
\end{center}
Diese Funktionen/Felder nennt man \emph{Vector Proxies}.
\medskip
Die Proxies hängen vom Skalarprodukt in $\R^3$ (also vom verwendeten Koordinatensystem)
ab; Differentialformen tun das nicht.
\subsection{Die Äußere Algebra}
In der Integralformulierung der Maxwell-Gleichungen kommen Integrale von $1$-Formen
auf Rändern, und von $2$-Formen auf Flächen vor. Das motiviert die folgende
Definition:
\begin{definition}
Die äußere Ableitung ist ein linearer Operator $\bd : \mathcal{F}^l(\mathcal{M}) \to \mathcal{F}^{l+1}(\mathcal{M})$,
$0 \le l \le n$, definiert durch
\begin{equation*}
\int_\Sigma \bd \omega = \int_{\partial \Sigma} \omega
\qquad
\forall \omega \in \mathcal{F}^l(\mathcal{M}),
\quad
\Sigma \in \mathcal{S}_{l+1}(\mathcal{M}).
\end{equation*}
Für alle $\omega \in \mathcal{F}^n(\mathcal{M})$ setzt man $\bd \omega = 0$
(weil keine $n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit in einer $n$-Mannigfaltigkeit
Rand von etwas ist).
\end{definition}
Formen im Kern von $\bd$ heißen \emph{geschlossen}.
\medskip
Da $\partial \partial \Sigma = \emptyset$ kriegt man sofort $\bd \circ \bd = 0$.
Wir können die Maxwell-Gleichungen in Integralform
\begin{align*}
\int_{\partial \Sigma} \bE \cdot \bt\,ds
& =
-i\omega \int_\Sigma \bB \cdot \bn\,dS \\
%
\int_{\partial \Sigma} \bH \cdot \bt\,ds
& =
i\omega \int_\Sigma \bD \cdot \bn\,dS + \int_\Sigma \bj \cdot \bn\,dS
\end{align*}
jetzt darstellen als
\begin{equation*}
\bd \bE = -i\omega \bB,
\qquad \qquad
\bd \bH = i\omega \bD + \bj.
\end{equation*}
Wegen $\bd \circ \bd = 0$ erhält man die Erhaltungsgleichungen
\begin{equation*}
\bd \bB = 0
\qquad \qquad
\bd (i\omega \bD + \bj) = 0.
\end{equation*}
Außerdem gibt es wieder ein magnetisches Vektorpotential
$\bA \in \mathcal{F}^1(\R^3)$ und ein skalares Potential $v \in \mathcal{F}^0(\R^3)$
so dass
\begin{equation*}
\bB = \bd \bA,
\qquad \qquad
\bE = -\bd v - i \omega \bd \bA.
\end{equation*}
\todo[inline]{Pullbacks?}
\todo[inline]{Traces?}
\todo[inline]{Traces for vector proxies?}
\begin{theorem}[Satz von de Rham für Differentialformen]
Es gibt einen endlichdimensionalen Teilraum $\mathcal{DH}^l(\mathcal{M}) \subset \mathcal{DF}^l(\mathcal{M})$
von geschlossenen $l$-Differentialformen (d.h., $\bd \tau = 0 \forall \tau \in \mathcal{DH}^l(\mathcal{M})$),
so dass für alle $\omega \in \mathcal{DF}^l(\mathcal{M})$
\begin{equation*}
\bd \omega = 0
\iff
\exists \eta \in \mathcal{DF}^{l-1}(\mathcal{M}), \tau \in \mathcal{DH}^l \text{mit $\omega = \bd \eta + \tau$}.
\end{equation*}
Die Dimension von $\mathcal{DH}^l$ ist die $l$-te Betti-Zahl von $\Omega$.
\end{theorem}
Bisher haben wir noch nichts wirklich Neues gemacht.
\begin{definition}[Äußeres Produkt]
Sei $\omega \in \bigwedge^l(V)$ und $\eta \in \bigwedge^m(V)$. Dann ist
$\omega \wedge \eta \in \bigwedge^{l+m}(V)$ definiert durch
\begin{equation*}
(\omega \wedge \eta)(v_1,\dots,v_l,v_{l+1},\dots,v_{l+m})
\colonequals
\frac{1}{l!m!}
\sum_{\sigma \in \operatorname{Sym}_{l+m}} \operatorname{sign}(\sigma)
\omega(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(l)}) \cdot \eta(v_{\sigma(l+1)}, \dots, v_{\sigma(l+m)}).
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{definition}[Äußeres Produkt für Differentialformen]
\begin{equation*}
(\omega \wedge \eta)(\bx) \colonequals \omega(\bx) \wedge \eta(\bx).
\end{equation*}
\end{definition}
Man erhält folgende praktische Eigenschaften:
\begin{equation*}
\omega \wedge \eta = (-1)^{lm} (\eta \wedge \omega)
\qquad
\omega \in \mathcal{DF}^l, \eta \in \mathcal{DF}^m,
\end{equation*}
und (Produktregel)
\begin{equation*}
\bd(\omega \wedge \eta)
=
\bd \omega \wedge \eta + (-1)^l(\omega \wedge \bd \eta).
\end{equation*}
Daraus erhält man die Formel für die partielle Integration
\begin{equation*}
\int_\Sigma \bd \omega \wedge \eta + (-1)^l(\omega \wedge \eta)
=
\int_\Sigma \bd(\omega \wedge \eta)
=
\int_{\partial \Sigma} \omega \wedge \eta.
\end{equation*}
\begin{exercise}
Leiten Sie damit die bekannten Regeln~\eqref{} und~\eqref{} her!
\end{exercise}
Man bekommt die schwache Formulierung der Maxwell-Gleichungen
in Differentialformenschreibweise.
\todo[inline]{Fehlt}
\subsection{Koketten}
Man kann Finite Elemente tatsächlich als stückweise polynomielle Differentialformen
herleiten. Dabei landet man genau wieder bei den Räumen $W_h$, $\bQ_h$, $\bV_h$ und $S_h$
aus dem vorigen Kapitel.
\medskip
\emph{Erinnerung:} Eine Integralform war eindeutig bestimmt wenn ihr Wert
für alle $l$-Flächen bekannt war.
\medskip
Eine diskrete $l$-Integralform müsste sich durch ihre Werte auf endlich vielen
$l$-Flächen bestimmen lassen.
\medskip
Um die äußere Ableitung $\bd$ definieren zu können müssen diese $l$-Flächen
einen Randoperator $\partial$ haben.
\medskip
Gute Möglichkeit: Eine Triangulierung $\mathcal{T}$ von $\Omega$ mit
Elementen $\mathcal{S}_3$, Seiten $\mathcal{S}_2$, Kanten $\mathcal{S}_1$
und Ecken $\mathcal{S}_0$.
\medskip
Für jede $l$-Seite definieren wir eine Orientierung.
\begin{itemize}
\item Jede $l$-Seite ist durch ein $l+1$-Tupel von Knoten beschrieben.
Diese legen eine Orientierung fest.
\item Die Orientierung eine $l$-Seite legt eine Orientierung aller
$l-1$-Seiten im Rand fest.
\item Beispiel: Sei $T = (\ba_0, \ba_1, \ba_2, \ba_3) \in \mathcal{S}_3$
ein Tetraeder.
Dann sind die Randseiten mit induzierter Orientierung
\begin{equation*}
\partial T
\implies
\Big\{ (\ba_2, \ba_1, \ba_0), (\ba_0, \ba_1, \ba_3), (\ba_3, \ba_2, \ba_0), (\ba_1, \ba_2, \ba_3) \Big\}
\end{equation*}
\todo[inline]{Besser erklären warum das so ist!}
\item Die Kanten einer orientierten Dreiecksseite $F = (\ba_0, \ba_1, \ba_2)$ sind
\begin{equation*}
\partial F
\implies
\Big\{ (\ba_0, \ba_1), (\ba_1, \ba_2), (\ba_2, \ba_0) \Big\}
\end{equation*}
\item Die relative Orientierung einer $l-1$-Seite $f$ im Rand einer $l$-Seite $F$
ist $(-1)^t$, wobei $t$ die Anzahl der Transpositionen ist die gebraucht werden
``to convert the induced ordering of vertices into that fixing the interior
orientation of $f$''.
\end{itemize}
Wir konstruieren uns ein einfaches Hilfsmittel, mit dem man schon
erstaunlich viel machen kann.
\begin{definition}
Eine $l$-Kokette $\vec \omega$, $0 \le l \le 3$ auf einer Triangulierung $\mathcal{T}$
ist eine Abbildung $\mathcal{S}_l(\mathcal{T}) \to \mathbb{C}$. Der Vektorraum
aller $l$-Koketten auf $\mathcal{T}$ wird mit $\mathcal{C}^l(\mathcal{T})$ bezeichnet.
\end{definition}
Man kann mit $l$-Koketten fast alles machen was man auch mit Integralformen machen kann.
\medskip
Insbesondere kann man eine äußere Ableitung definieren
\begin{equation*}
\bd_h : \mathcal{C}^l(\mathcal{T}) \to \mathcal{C}^{l+1}(\mathcal{T}).
\end{equation*}
Für $\vec \omega \in \mathcal{C}^l(\mathcal{T})$ weißt die äußere Ableitung $\bd_h \vec \omega$
jedem $F \in S_{l+1}(\mathcal{T})$ die Summe der Werte $\vec \omega (f)$,
$f \in \mathcal{S}_l(\mathcal{T})$, $f \in \partial F$ zu, gewichtet mit der
relativen Orientierung.
\missingfigure{Drei Dreiecke}
Man kann die lineare Abbildung $\bd_h$ für $l$-Seiten auch als Matrix
$\mathsf{D}^l \in \mathbb{C}^{N_{l+1}, N_l}$ schreiben. Diese Matrix heißt \emph{Inzidenzmatrix}.
Alle ihre Einträge sind entweder $-1$, $0$ oder $1$.
\medskip
Man bekommt tatsächlich $\mathsf{D}^{l+1} \mathsf{D}^l = 0$, und wieder
den Satz von de Rham.
\begin{theorem}[Satz von de Rham für Kokette]
Für jedes $l$, $0 \le l \le n$ gibt es einen Teilraum $\mathcal{HC}^l(\mathcal{T}) \subset \mathcal{C}^l(\mathcal{T})$,
so dass für alle $\vec \omega \in \mathcal{C}^l(\mathcal{T})$
\begin{align*}
\mathcal{D}^l \vec \omega = 0
\qquad \iff \qquad
\exists \vec \eta \in \mathcal{C}^{l-1}(\mathcal{T}), \vec \gamma \in \mathcal{HC}^l(\mathcal{T})
\text{so dass $\vec \omega = \mathsf{D}^{l-1} \vec \eta + \vec \gamma$.}
\end{align*}
Die Dimension von $\mathcal{HC}^l(\mathcal{T})$ ist die $l$-te Betti-Zahl von $\Omega$.
\end{theorem}
Formal können wir die zwei ersten Maxwell-Gleichungen mit dem Koketten-Kalkül
hinschreiben
\begin{equation*}
\mathsf{D}^1 \vec \be = -i\omega \vec \bb
\qquad
\mathsf{D}^1 \vec \bh = i\omega \vec \bd + \vec \bj.
\end{equation*}
Den Zusammenhang mit den echten Maxwell-Gleichungen~\eqref{}
bekommt man durch die sogenannte \emph{de Rham Abbildung}
\begin{equation*}
\mathsf{I}_l : \mathcal{F}^l(\Omega) \to \mathcal{C}^l(\mathcal T),
\qquad
\mathsf{I}_l(\omega)(F) \colonequals \int_F \omega
\qquad
\forall F \in \mathcal{S}_l(\mathcal{T}).
\end{equation*}
Aus der Definition folgt direkt
\begin{equation*}
\mathsf{D}^l \circ \mathsf{I}_l = \mathsf{I}_{l+1} \circ \bd.
\end{equation*}
Folgerung: Integralformen die die Maxwell-Gleichungen lösen erfüllen deshalb
\begin{equation*}
\mathsf{D}^1 \mathsf{I}_1 \bE = -i \omega \mathsf{I}_2 \bB
\qquad
\mathsf{D}^1 \mathsf{I}_1 \bH = i \omega \mathsf{I}_2 \bD + \mathsf{I}_2 \bj.
\end{equation*}
Die Kokettenformulierung ist also eine Art Finite-Volumen-Diskretisierung.
\medskip
Diese Diskretisierung ist konsistent, d.h., Lösungen der echten Gleichung
lösen auch die diskrete Gleichung.
\subsection{Whitney-Formen}
Wenn Koketten eine Art von Finiten Volumen sind, wie sehen dann Finite Elemente aus?
\medskip
Wir stellen uns Koketten als eine Art Funktionswert auf den Elementen, Seiten, Kanten
des Gitters vor, und erweitern sie zu Differentialformen auf ganz $\Omega$
(durch Interpolation).
\todo[inline]{Abbildung $\mathsf{W}^l$ einführen!}
Die so gewonnenen Differentialformen nennt man \emph{Whitney-Formen}.
\bigskip
Wir fordern:
\begin{itemize}
\item Erweiterungseigenschaft:
\begin{equation*}
\int_F \mathsf{W}^l \vec \omega = \vec \omega(F)
\qquad
\forall F \in \mathcal{S}_l(\mathcal{T}),
\quad
\vec \omega \in \mathcal{C}^l(\mathcal{T}).
\end{equation*}
\item Die äußere Ableitung für Koketten und Whitney-Formen müssen kommutieren
\begin{equation*}
\bm{d} \circ \mathsf{W}^l = \mathsf{W}^{l+1} \circ \mathsf{D}^l.
\end{equation*}
\item Lokalität: Falls alle Koketten-Koeffizienten von $\vec \omega$ Null sind
auf den $l$-Seiten von $T \in \mathcal{S}_3(\mathcal{T})$, dann soll
$\mathsf{W}^l \vec \omega |_T = 0$ sein.
\item Die Vektorstellvertreter der Whitney-Formen sollten \glqq einfach\grqq{} sein.
Das heißt: stückweise polynomiell.
\end{itemize}
\bigskip
Wir konstruieren jetzt solche Formen auf einem einzelnen Tetraeder $T \in \mathcal{S}_3(\mathcal{T})$
mit Ecken $\ba_0$, $\ba_1$, $\ba_2$, $\ba_3$.
\medskip
Wir fangen mit $0$-Koketten an.
Seien $\lambda_0,\dots,\lambda_3$ die baryzentrischen Koordinatenfunktionen auf $T$
(aka die Lagrange-Polynome erster Ordnung).
Sei $\vec \phi$ eine $0$-Kokette. Diese hat Koeffizienten in den Ecken von $T$.
Für einen Punkt $\bx \in T$ definieren wir
\begin{equation*}
\phi(\bx) = \sum_{i=0}^3 \vec \phi(\ba_i) \lambda_i(\bx).
\end{equation*}
Das erfüllt alle geforderten Eigenschaften.
\bigskip
Was machen wir für die Fälle $l\ge 1$?
\begin{itemize}
\item Die Koeffizienten sitzen dann auf den Kanten, Seiten, etc.
\item Die Koeffizienten sind $\in \mathcal{C}$ für alle $l \ge 0$.
Ergebnis der Interpolation soll aber eine $l$-Form sein.
\end{itemize}
Idee:
\begin{itemize}
\item Die Interpolation von $0$-Formen hat funktioniert, weil
\begin{equation*}
\bx = \sum_{i=0}^3 \ba_i \lambda_i(\bx).
\end{equation*}
\item Man kann also jeden Punkt als Linearkombination von Ecken
darstellen.
\item $1$-Formen werden entlang von Liniensegmenten ausgewertet.
\item Statt Ecken und Punkten betrachten wir deshalb jetzt
Kanten von $T$ und Liniensegmente.
\end{itemize}
Trick: Genau wie jeder Punkt $\bx \in T$ als Linearkombination der Ecken
von $T$ dargestellt werden kann, kann jedes orientierte Liniensegment $(\bx, \by)$,
$\bx, \by \in T$ als Linearkombination der Kanten von $T$ dargestellt werden:
\begin{align*}
(\bx,\by)
& =
\big\{ t\bx + (1-t)\by \; : \; 0 \le t \le 1 \big\} \\
%
& =
\bigg\{ \sum_i \bigg(t\lambda_i(\bx) + (1-t)\lambda_i(\by)\bigg) \ba_i \; : \; 0 \le t \le 1 \bigg\} \\
%
& =
\bigg\{
\sum_i \bigg(t \sum_j \lambda_j(\by) \lambda_i(\bx) + (1-t) \sum_j \lambda_j(\bx) \lambda_i(\by)\bigg) \ba_i
\; : \; 0 \le t \le 1 \bigg\} \\
%
& =
\bigg\{
\sum_i \sum_j \lambda_i(\bx) \lambda_j(\by) (t\ba_i + (1-t) \ba_j)
\; : \; 0 \le t \le 1 \bigg\}.
\end{align*}
Hence, taking into account orientation, we require that the interpolating
differential $1$-form $\mathsf{W}^1 \vec \omega$ satisfies
\begin{equation*}
\int_{(\bx,\by)} \mathsf{W}^1|_T \vec \omega
\colonequals
\sum_{i,j} \lambda_i(\bx) \lambda_j(\by) \vec \omega_{(i,j)}
=
\sum_{i < j} (\lambda_i(\bx)\lambda_j(\by) - \lambda_i(\by) \lambda_j(\bx)) \vec \omega_{(i,j)}.
\end{equation*}
Hier ist $\vec \omega_{(i,j)}$ ist der Wert den die $1$-Kokette $\vec \omega$
der orientierten Kante $(\ba_i,\ba_j)$ zuweist.
\chapter{Mehrgitter für Probleme in \texorpdfstring{$H(\div)$}{H(div)} und \texorpdfstring{$H(\curl)$}{H(curl)}}
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