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Zeige die Konvergenzgeschwindigkeit des Jacobi-Verfahrens für beliebige Dämpfung

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Pipeline #6415 passed with stage
in 6 minutes and 19 seconds
......@@ -790,21 +790,13 @@ Daraus folgt dass
& =
1-2 \eta \sin^2 ( \frac{1}{2} \pi h ).
\end{align*}
Mit $\eta = 1$ erhält man:
\todo[inline]{Zeige den allgemeinen Fall!}
\begin{align*}
\rho (I - \eta D^{-1}A )
=
\cos (\pi h).
\end{align*}
Taylor-Entwicklung:
\begin{equation*}
\cos ( \pi h )=1-\frac{1}{2} \pi^2 h^2+\ldots
\sin^2 s = s^2 - \frac{1}{3}s^4 + \frac{2}{45}s^6 + \cdots
\end{equation*}
Also ist
ergibt
\begin{equation*}
\frac{\norm{e^{k+1}}}{\norm{e^k}} \approx \rho (I-D^{-1}A) \approx 1-\frac{1}{2} \pi^2h^2
\frac{\norm{e^{k+1}}}{\norm{e^k}} \approx \rho (I-D^{-1}A) \approx 1-\frac{\eta}{2} \pi^2h^2
\end{equation*}
Dieser Ausdruck geht "`quadratisch"' (also ziemlich schnell) gegen $1$ wenn $h \to 0$.
......
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