Zu $n+1$ beliebigen Datenpaaren $(x_0,f_0),\hdots,(x_n,f_n)$ mit paarweise verschiedenen Stützstellen existiert ein Polynom $p\in\Pi_n$, das die Interpolationsbedingung erfüllt.
$\rightarrow$ Diesen Wert hätten wie gerne klein. Geht das? Im Prinzip ja.
\begin{satz}[Weierstraß]
Sei $f\in\mathcal C[a,b]$. Dann existiert eine Folge $p_0,p_1,p_2,\hdots$ mit $p_n\in\Pi_n$, so dass $\norm{f-p}_\infty\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0$.
\end{satz}
\begin{proof}
Funktionalanalysis, 5.~Semester.
\end{proof}
Karl Weierstraß 1815-1897
\begin{itemize}
\item Deutsch (???)
\item Ab 1856 $\rightarrow$ Berlin
\item Solide (???) der Analysis (\qq{weierstraßsche Strenge})
\item Konvergenzkriterien für Reihen
\item gleichmäßige Konvergenz
\item Satz von Bolzano Weierstraß
\end{itemize}
Kann man solche Polynome durch Interpoaltion konstruieren?\\
Hoffnung: Mehr Stützstellen $\rightarrow$ kleinerer Fehler
\begin{equation*}
\lim\norm{ f-p }_\infty = 0 \qquad\text{für immer feinere Aufteilung von } [a,b]
\end{equation*}
Beispiele: [Computer]\\
Runge:
\begin{equation*}
f(x) = \frac{1}{1+25x^2}
\end{equation*}
Warum geht das schief?\\
Grund I: uniform verteilte Stützstellen sind böse! (warum sehen wir gleich)\\
Grund II: Die Runge-Funktion ist zwar $\mathcal{C}^\infty$, aber die Werte der Ableitung wachsen für höhere Ableitungsordnung
Sei $f\in\mathcal{C}^{n+1}[a,b]$ und $a \leq x_0 < x_1 < \hdots < x_n \leq b$. Sei $p_n\in\Pi_n$ das dazugehörige Interpolationspolynom. Dann existiert zu jedem $x\in[a,b]$ eine Zahl $\xi_x\in(a,b)$, so dass