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nichtlineare-ausgleichsprobleme.tex

@@ -345,7 +345,7 @@ Damit erhält man
   & = \underbrace{F'(x^k)^+F'(x^k)}_{=I_n} (x^k-x^* )-F'(x^k)^+ F(x^k )+\underbrace{F'(x^k)^+ F(x^*)-F'(x^k )^+F (x^* )}_{=0} \\
   & = \underbrace{F'(x^k)^+\left[ F (x^* )-F (x^k )-F'(x^k) (x^*-x^k) \right]}_{\leq \frac{\omega}{2}\norm{x^k-x^*}^2}
      -\underbrace{F'(x^k)^+F(x^*)}_{\leq \kappa_* \norm{x^k-x^*}} \\
-  & \implies \lVert x^{k+1}-x^* \rVert \leq ( \frac{\omega}{2} \norm{x^k-x^*} + \kappa_* ) \norm{x^k-x^*}.
+  & \implies \lVert x^{k+1}-x^* \rVert \leq \left( \frac{\omega}{2} \norm{x^k-x^*} + \kappa_* \right) \norm{x^k-x^*}.
 \end{align*}
 Das ist gerade Behauptung~2) zur Konvergenzgeschwindigkeit.
 
@@ -362,7 +362,7 @@ Nach Voraussetzung:
 Nach Induktion ist damit
 \begin{align*}
  & \forall k \in \N \colon \norm{x^{k+1}-x^*}
- < ( \frac{\omega}{2} \norm{x^k-x^*} + \kappa_* ) \norm{x^k-x^*}
+ < \left( \frac{\omega}{2} \norm{x^k-x^*} + \kappa_* \right) \norm{x^k-x^*}
  < \norm{x^k-x^*} \\
  \implies & \forall k \in \N \colon \frac{\omega}{2}\norm{x^k-x^*} + \kappa_*< \frac{\omega}{2} \norm{x^0 - x^*} + \kappa_* = c.
 \end{align*}