Verbessere Beschreibung der FE-Methode

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -149,7 +149,7 @@ $\Gamma_N$.}
 Sei $\Omega \subset \R^d$ ein Gebiet und $f : \Omega \to \R$.
 Der Rand $\partial \Omega$ von $\Omega$ sei zerlegt in zwei disjunkte Teile $\Gammatight{D}$ und $\Gammatight{N}$,
 und wir bezeichnen die äußere Einheitsnormale mit $\nu$.
-Wir betrachten als Beispiel die {\em Poisson-Gleichung}
+Wir betrachten als Beispiel die \emph{Poisson-Gleichung}
 \begin{equation}
 \label{eq:starke_formulierung}
  - \Delta u \colonequals - \sum_{i=1}^d \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = f
@@ -200,18 +200,18 @@ einsetzen und erhalten
 Wir schreiben dies als
 \begin{equation}
 \label{eq:schwache_formulierung}
- a(u,v) = l(v)
+ a(u,v) = \ell(v)
 \end{equation}
 mit
 \begin{equation*}
- a(v,w) = \int_\Omega \nabla v \nabla w \, dx
-\quad \text{und} \quad
- l(v) = \int_{\Gamma_N} g v \, ds
+ a(v,w) \colonequals \int_\Omega \nabla v \nabla w \, dx
+\qquad \text{und} \qquad
+ \ell(v) \colonequals \int_{\Gamma_N} g v \, ds
 +
 \int_\Omega f v \, dx.
 \end{equation*}
-Man nennt \eqref{eq:schwache_formulierung} die {\em schwache Formulierung}
-(oder {\em Variationsformulierung})
+Man nennt \eqref{eq:schwache_formulierung} die \emph{schwache Formulierung}
+(oder \emph{Variationsformulierung})
 von \eqref{eq:starke_formulierung}.
 
 $a(\cdot, \cdot)$ ist eine symmetrische Bilinearform.  Hat $\Gammatight{D}$
@@ -233,10 +233,10 @@ Dann hat die Variationsgleichung
 \begin{equation*}
  u \in H
 \quad : \quad
-a(u,v) = l(v)
+a(u,v) = \ell(v)
 \qquad v \in H
 \end{equation*}
-for jedes $l \in H'$ eine eindeutig bestimmte Lösung.
+for jedes $\ell \in H'$ eine eindeutig bestimmte Lösung.
 \end{theorem}
 
 
@@ -246,11 +246,11 @@ for jedes $l \in H'$ eine eindeutig bestimmte Lösung.
 
 Sei $V_h$ ein endlichdimensionaler Teilraum von $H^1_{\Gammatight{D}}$ (mit Dimension $n$).
 Der Index $h$
-bezeichne einen Ordnungsparameter.  Die {\em diskrete Variationsformulierung}
+bezeichne einen Ordnungsparameter.  Die \emph{diskrete Variationsformulierung}
 lautet
 \begin{equation}
 \label{eq:diskrete_formulierung}
- u_h \in V_h \quad : \quad a(u_h,v_h) = l(v_h)
+ u_h \in V_h \quad : \quad a(u_h,v_h) = \ell(v_h)
 \qquad \text{für alle $v_h \in V_h$}.
 \end{equation}
 Anwendung des Lax--Milgram-Lemmas ergibt wieder Existenz und Eindeutigkeit
@@ -260,40 +260,39 @@ Sei $\{\varphi_i\}, 0 \le i < n$, eine Basis von $V_h$. Dann ist
 \eqref{eq:diskrete_formulierung} äquivalent zu
 \begin{equation*}
 %\label{eq:diskrete_formulierung}
- u_h \in V_h \quad : \quad a(u_h, \varphi_i) = l(\varphi_i)
+ u_h \in V_h \quad : \quad a(u_h, \varphi_i) = \ell(\varphi_i)
 \qquad \text{für alle $0 \le i < n$}.
 \end{equation*}
 Dies wiederum entspricht dem linearen Gleichungssystem
 \begin{equation}
 \label{eq:fe_lineares_gleichungssystem}
- A\bar{u} = b,
+ Ax = b,
 \end{equation}
 wobei
 \begin{alignat*}{2}
 A &\in \R^{n \times n},
-\qquad &A_{ij} & = a(\varphi_i, \varphi_j)
+\qquad &A_{ij} & \colonequals a(\varphi_i, \varphi_j)
 =
 \int_\Omega \nabla \varphi_i \nabla \varphi_j \, dx \\
 %
 b &\in \R^n,
 \qquad &
-b_i & = l(\varphi_i)
+b_i & \colonequals \ell(\varphi_i)
 =
 \int_{\Gamma_N} g \varphi_i \, ds
 +
 \int_\Omega f \varphi_i \, dx
 \end{alignat*}
-und $\bar{u} \in \R^n$ die Koeffizienten von $u_h$ bzgl.\ der Basis $\{\varphi_i\}$ sind.
+und $x \in \R^n$ die Koeffizienten von $u_h$ bzgl.\ der Basis $\{\varphi_i\}$ sind.
 
-Die Matrix $A$ nennt man {\em Steifigkeitsmatrix}.  Dieser Ausdruck kommt aus den
+\bigskip
+
+Die Matrix $A$ nennt man \emph{Steifigkeitsmatrix}.  Dieser Ausdruck kommt aus den
 Anfangstagen der Finiten Elemente in der Ingenieurswelt, wo insbesondere mechanische
 Probleme gelöst wurden.  Die Matrix $A$ beschreibt dabei die Steifigkeit des simulierten
 Objekts, und der Vektor $b$ beschreibt die von außen wirkenden Kräfte.  Den Vektor $b$
-nennt man deshalb manchmal auch {\em Lastvektor}.
+nennt man deshalb manchmal auch \emph{Lastvektor}.
 
-\emph{Beachte:} Ohne weitere Annahmen ist an dieser Stelle davon auszugehen, dass $A$
-voll besetzt ist.  Das bedeutet, dass fast jeder Eintrag von $A$ von Null verschieden ist,
-wobei der Ausdruck \glqq fast jeder\grqq{} hier nicht mathematisch streng gemeint ist.
 
 \section{Finite Elemente}
 \label{sec:finite_elemente}
@@ -301,8 +300,10 @@ wobei der Ausdruck \glqq fast jeder\grqq{} hier nicht mathematisch streng gemein
 Finite Elemente sind eine bestimmte Möglichkeit, den Teilraum
 $V_h$ zu wählen.
 
-Sei $\Omega$ von jetzt ab {\em polygonal berandet}.  Wir füllen
-$\Omega$ mit einer Triangulierung / einem {\em Gitter}.  Ein Beispielgitter für
+\medskip
+
+Sei $\Omega$ von jetzt ab \emph{polygonal berandet}.  Wir füllen
+$\Omega$ mit einer Triangulierung / einem \emph{Gitter}.  Ein Beispielgitter für
 ein zweidimensionales Gebiet sieht man in Abbildung~\ref{fig:2d-Beispielgitter}.
 
 \begin{figure}
@@ -317,11 +318,11 @@ ein zweidimensionales Gebiet sieht man in Abbildung~\ref{fig:2d-Beispielgitter}.
 \label{def:triangulierung}
  Es sei $\Omega \subset \R^2$ polygonal berandet, und $\Gammatight{D}$ auf dem
 Rand aufgelöst.  Eine Menge $\mathcal{T}$
-von abgeschlossenen Dreiecken $t$ heißt {\em Triangulierung} von $\Omega$, falls gilt
+von abgeschlossenen Dreiecken $T$ heißt \emph{Triangulierung} von $\Omega$, falls gilt
 \begin{enumerate}
  \item Die Menge der Dreiecke überdeckt den Abschluss des Gebiets
 \begin{equation*}
- \overline{\Omega} = \bigcup_{t \in \mathcal{T}} t.
+ \overline{\Omega} = \bigcup_{T \in \mathcal{T}} T.
 \end{equation*}
 %
 \item Der Schnitt zweier Dreiecke aus $\mathcal T$ ist entweder eine
@@ -330,21 +331,21 @@ gemeinsame Kante, ein gemeinsamer Eckpunkt, oder leer.
 \end{definition}
 Der Diskretisierungsparameter
 \begin{equation*}
- h = \max_{t \in \mathcal{T}} \operatorname{diam} t,
+ h \colonequals \max_{T \in \mathcal{T}} \operatorname{diam} T,
 \end{equation*}
 der als Index in $V_h$ auftaucht, beschreibt traditionell die Feinheit des Gitters.
-Oft nennt man $h$ auch {\em Gitterweite}.
+Oft nennt man $h$ auch \emph{Gitterweite}.
 
 \begin{definition}
 Der Raum
 \begin{equation*}
- V_h^{(1)}
+ V_h^{p}
 \colonequals
 \{ v \in C(\overline{\Omega})
 \; | \;
-\text{$v$ ist affin auf $t$ für alle $t \in \mathcal{T}$, und $v|_{\Gamma_D} = 0$} \}
+\text{$v$ ist Polynom von Grad $\le p$ auf $T$ für alle $T \in \mathcal{T}$, und $v|_{\Gamma_D} = 0$} \}
 \end{equation*}
-heißt Raum der Lagrange-Elemente erster Ordnung
+heißt Raum der Lagrange-Elemente $p$-Ordnung
 bezüglich der Triangulierung $\mathcal{T}$.
 \end{definition}
 
@@ -353,41 +354,32 @@ bezüglich der Triangulierung $\mathcal{T}$.
 \includegraphics[width=0.4\textwidth]{generalP1function}
 \includegraphics[width=0.4\textwidth]{nodalP1basis}
 \end{center}
-\caption{Links: eine Finite-Elemente Funktion.  Rechts: ein Element der Knotenbasis}
+\caption{Links: eine Finite-Elemente Funktion.  Rechts: ein Element der Knotenbasis erster Ordnung}
 \label{fig:beispiel-fe-funktion}
 \end{figure}
 
-Als Basis von $V_h^{(1)}$ wählt man gewöhnlich die {\em Knotenbasis}.  Sei $\mathcal V$
-die Menge der Knoten des Gitters.  Dann ist die Knotenbasis die Menge
-der Funktionen $\varphi_i \in V_h^{(1)}$ mit
+Als Basis von $V_h^{p}$ wählt man gewöhnlich die \emph{Knotenbasis}.  Sei $\mathcal L$
+die Menge der Lagrange-Knoten des Gitters.  Dann ist die Knotenbasis die Menge
+der Funktionen $\varphi_i \in V_h^{p}$ mit
 \begin{equation*}
  \varphi_i (v_j) = \delta_{ij}
 \qquad
-\text{für alle $v_j \in \mathcal{V}$}.
+\text{für alle $v_j \in \mathcal{L}$}.
 \end{equation*}
-Es ist also insbesondere $\dim V_h^{(1)} = \abs{\mathcal V \setminus \mathcal{V}_{\Gamma_D}}$
+Es ist also insbesondere $\dim V_h^{p} = \abs{\mathcal L \setminus \mathcal{L}_{\Gamma_D}}$
 (Abbildung~\ref{fig:beispiel-fe-funktion}).
 
-{\em Wichtig:} Da die Basisfunktionen $\varphi_i$ einen `lokalen'
-Träger haben, so sind die meisten Matrixeinträge
-\begin{equation*}
- A_{ij} = a(\varphi_i, \varphi_j)
-=
-\int_\Omega \nabla \varphi_i \nabla \varphi_j \, dx
-\end{equation*}
-gleich Null!  Die Matrix $A$ ist also {\em dünnbesetzt}.
-Das ist eine wichtige Eigenschaft, denn müsste man alle Einträge von $A$ in Betracht ziehen,
-so wären das \glqq zu viele\grqq{} (nämlich quadratisch viele).
-Nur bei einer dünnbesetzten Matrix bleibt der Aufwand handhabbar.
-Denn $n$ kann sehr groß werden; aktuell sind Werte im Bereich weniger Millionen auf einem
-einzelnen Rechner realistisch.  Auf einem großen Parallelrechner können es durchaus einige
-Milliarden werden.
+\bigskip
+
+Der Diskretisierungsfehler hängt hauptsächlich von der Gitterauflösung $h$,
+der Ordnung $p$ der Finite-Elemente-Funktionen, und der Glattheit von $u$ ab.
 
 \begin{theorem}
- Es sei $h$ klein genug, $u \in H^1_0(\Omega) \cap H^{2}(\Omega)$,
-$\Omega \in \R^2$.  Dann gilt die a priori Abschätzung
+ Es sei $h$ klein genug, $u \in H^1_0(\Omega) \cap H^{p+1}(\Omega)$ die Lösung
+ der schwachen Formulierung, und $u_h$ die entsprechende Finite-Elemente-Lösung in $V_h^p$.
+ Dann gilt die a priori Abschätzung
 \begin{equation*}
- \norm{u - u_h}_1 \le C h \abs{u}_{2}
+ \norm{u - u_h}_1 \le C h^p \abs{u}_{p+1}
 \end{equation*}
 mit einer Konstanten $C$.
 \end{theorem}