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Sander, Oliver
skript-mehrgitter
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6ce7fd4f
Commit
6ce7fd4f
authored
Jun 08, 2021
by
Sander, Oliver
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Mehr zu H(curl) und H(div)
parent
4976b35e
Pipeline
#6510
passed with stage
in 3 minutes and 20 seconds
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skript-mehrgitter-sander.tex
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6ce7fd4f
...
...
@@ -5758,13 +5758,17 @@ bzw.\ $\norm{\cdot}_\text{div}$.
\begin{lemma}
Die Bilinearform
\begin{equation*}
a
_
\textup
{
curl
}
(
\cdot
,
\cdot
) : H(
\curl
)
\times
H(
\curl
)
\to
\mathbb
{
C
}
\qquad
a
_
\textup
{
curl
}
(
\bu
,
\bv
)
\colonequals
\int
_
\Omega
\mu
^{
-1
}
\curl
\bu
\cdot
\curl
\bv\,
dx +
\int
_
\Omega
\kappa
\bu
\cdot
\bv
,dx
\int
_
\Omega
\mu
^{
-1
}
\curl
\bu
\cdot
\curl
\bar
{
\bv
}
\,
dx
+
\int
_
\Omega
\kappa
\bu
\cdot
\bar
{
\bv
}
,dx
\end{equation*}
ist
$
H
(
\curl
)
$
-elliptisch wenn
$
\mu
,
\kappa
>
0
$
.
ist
\emph
{
sesquilinear
}
.
Sie ist
$
H
(
\curl
)
$
-elliptisch wenn
$
\mu
,
\kappa
\in
\R
$
und
$
\kappa
>
0
$
oder wenn
$
\kappa
\notin
\R
$
(siehe~
\cite
{
zaglmayr:2006
}
).
\end{lemma}
\todo
[inline]
{
Was ist mit komplexen
$
\kappa
$
?
}
Mit dem Satz von Lax--Milgram hat das
$
\curl
\curl
$
-Problem damit eine
eindeutige Lösung in
$
H
(
\curl
)
$
.
...
...
@@ -5781,9 +5785,31 @@ können beide Parameter sehr klein oder sehr groß werden.
Es wird deshalb später wichtig, dass unsere Konvergenzresultate
unabhängig von
$
\mu
$
und
$
\kappa
$
sind.
\bigskip
\subsubsection
{
Stetigkeit von Funktionen in
$
H
(
\curl
)
$
und
$
H
(
\div
)
$}
Aus der partiellen Integration erhält man die folgende Charakterisierung:
\begin{lemma}
Sei
$
\Omega
1
,
\dots
,
\Omega
_
m
$
eine nichtüberlappende Zerlegung
von
$
\Omega
$
mit Grenzflächen
$
\Gamma
_{
ij
}
=
\partial
\Omega
_
i
\cap
\partial
\Omega
_
j
$
.
Sei
$
\bu
_
i
\colonequals
\bu
|
_{
\Omega
_
i
}
\in
H
(
\curl
;
\Omega
_
i
)
$
und
$
\bu
_
i
\times
\bn
=
\bu
_
j
\times
\bn
$
. Dann gilt
\begin{equation*}
\bu
\in
H(
\curl
;
\Omega
)
\qquad
\text
{
und
}
\qquad
(
\curl
\bu
)|
_{
\Omega
_
i
}
=
\curl
\bu
_
i.
\end{equation*}
Sei
$
\bu
_
i
\colonequals
\bu
|
_{
\Omega
_
i
}
\in
H
(
\div
;
\Omega
_
i
)
$
und
$
\bu
_
i
\cdot
\bn
=
\bu
_
j
\cdot
\bn
$
. Dann gilt
\begin{equation*}
\bu
\in
H(
\div
;
\Omega
)
\qquad
\text
{
und
}
\qquad
(
\div
\bu
)|
_{
\Omega
_
i
}
=
\div
\bu
_
i.
\end{equation*}
\end{lemma}
\todo
[inline]
{
Stetigkeit von Funktionen in
$
H
(
\curl
)
$
und
$
H
(
\div
)
$}
\subsection
{
Die Helmholtz-Zerlegung
}
...
...
@@ -5807,7 +5833,7 @@ unabhängig von $h$ konditioniert ist.)
Falls
$
\bu
$
ein Gradientenfeld ist, also
$
\bu
=
\nabla
\varphi
$
für eine skalare Funktion
$
\varphi
$
, so ist
\begin{equation*}
(I -
\nabla
\div
)
\bu
= (I -
\Delta
)
\bu
,
(I -
\nabla
\div
)
\bu
= (I -
\bm
{
\Delta
}
)
\bu
,
\end{equation*}
also
$
H
^
1
$
-elliptisch.
...
...
@@ -5821,15 +5847,25 @@ für alle $\bu = \nabla \varphi$ mit einer skalaren Funktion $\varphi$.
Für ein Vektorfeld
$
\bu
$
mit einem Vektorpotential
$
\ba
$
erhält man
\todo
[inline]
{
Ausrechnen!
}
\begin{align*}
(I -
\curl
\curl
)
\bu
&
=
(I +
\nabla
\div
+
\bm
{
\Delta
}
)
\bu
=
(I +
\bm
{
\Delta
}
)
\bu
,
\end{align*}
da
\begin{equation*}
\nabla
\div
\bu
=
\nabla
\div
\curl
\ba
= 0.
\end{equation*}
\todo
[inline]
{
Hier ist das Vorzeichen anders als oben. Sollte uns das Sorgen machen?
}
Funktionen mit einem skalaren Potential oder Vektorpotential
spielen also eine besondere Rolle. Kurioserweise lassen sich
alle Vektorfelder so darstellen.
\todo
[inline]
{
Literatur mit einem Beweis der Helmholtz-Zerlegung
}
\begin{theorem}
[Helmholtz-Zerlegung]
\begin{theorem}
[Helmholtz-Zerlegung, siehe z.B.
\ \cite
{
girault
_
raviart:1986
}
]
Auf einem Gebiet
$
\Omega
$
in
$
\R
^
3
$
mit
$
C
^
2
$
-Rand lässt sich jedes
Vektorfold
$
\bu
\in
L
^
2
(
\Omega
)
^
3
$
darstellen als Summe
\begin{equation*}
...
...
@@ -5837,9 +5873,36 @@ alle Vektorfelder so darstellen.
\end{equation*}
mit
$
\phi
\in
H
^
1
(
\Omega
)
$
und
$
\ba
\in
H
(
\curl
)
$
.
Diese Zerlegung ist
$
L
^
2
$
-
und
$
H
(
\div
)
$
-
orthogonal
.
Diese Zerlegung ist
orthogonal im
$
L
^
2
$
-,
$
H
(
\curl
)
$
und
$
H
(
\div
)
$
-
Sinn
.
\end{theorem}
\todo
[inline]
{
Die Orthogonalitätsaussagen nachprüfen!
}
\begin{proof}
Wir zeigen nur die Orthogonalität. Sei dazu
$
\bu
=
\nabla
\phi
+
\curl
\ba
$
.
Dann ist
\begin{equation*}
(
\nabla
\phi
,
\curl
\ba
)
_{
L
^
2
}
= -(
\phi
,
\div
\curl
\ba
)
_{
L
^
2
}
= 0.
\end{equation*}
Die Randterme der partiellen Integration verschwinden, weil in einem sehr
schwachen Sinn (siehe~
\cite
{
girault
_
raviart:1986
}
)
$
\nabla
\phi
\cdot
\bn
=
0
$
.
Außerdem ist
\begin{align*}
(
\nabla
\phi
,
\curl
\ba
)
_{
H(
\curl
)
}
&
=
(
\nabla
\phi
,
\curl
\ba
)
_{
L
^
2
}
+
\int
_
\Omega
\curl
\nabla
\varphi
\cdot
\curl
\curl
\ba\,
dx
= 0
\\
%
(
\nabla
\phi
,
\curl
\ba
)
_{
H(
\div
)
}
&
=
(
\nabla
\phi
,
\curl
\ba
)
_{
L
^
2
}
+
\int
_
\Omega
\div
\nabla
\varphi
\cdot
\div
\curl
\ba\,
dx
= 0.
\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
Man nennt diesen Satz auch den Hauptsatz der Vektoranalysis.
...
...
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