Mehr zu H(curl) und H(div)

skript-mehrgitter-sander.tex

@@ -5758,13 +5758,17 @@ bzw.\ $\norm{\cdot}_\text{div}$.
 \begin{lemma}
  Die Bilinearform
  \begin{equation*}
+  a_\textup{curl}(\cdot,\cdot) : H(\curl) \times H(\curl) \to \mathbb{C}
+  \qquad
   a_\textup{curl}(\bu,\bv)
   \colonequals
-  \int_\Omega \mu^{-1} \curl \bu \cdot \curl \bv\,dx + \int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv,dx
+  \int_\Omega \mu^{-1} \curl \bu \cdot \curl \bar{\bv}\,dx
+    + \int_\Omega \kappa \bu \cdot \bar{\bv},dx
  \end{equation*}
- ist $H(\curl)$-elliptisch wenn $\mu, \kappa > 0$.
+ ist \emph{sesquilinear}.
+ Sie ist $H(\curl)$-elliptisch wenn $\mu, \kappa \in \R$ und $\kappa > 0$
+ oder wenn $\kappa \notin \R$ (siehe~\cite{zaglmayr:2006}).
 \end{lemma}
-\todo[inline]{Was ist mit komplexen $\kappa$?}
 
 Mit dem Satz von Lax--Milgram hat das $\curl \curl$-Problem damit eine
 eindeutige Lösung in $H(\curl)$.
@@ -5781,9 +5785,31 @@ können beide Parameter sehr klein oder sehr groß werden.
 Es wird deshalb später wichtig, dass unsere Konvergenzresultate
 unabhängig von $\mu$ und $\kappa$ sind.
 
-\bigskip
+\subsubsection{Stetigkeit von Funktionen in $H(\curl)$ und $H(\div)$}
+
+Aus der partiellen Integration erhält man die folgende Charakterisierung:
+
+\begin{lemma}
+ Sei $\Omega1, \dots, \Omega_m$ eine nichtüberlappende Zerlegung
+ von $\Omega$ mit Grenzflächen $\Gamma_{ij} = \partial \Omega_i \cap \partial \Omega_j$.
+
+ Sei $\bu_i \colonequals \bu|_{\Omega_i} \in H(\curl; \Omega_i)$ und
+ $\bu_i \times \bn = \bu_j \times \bn$.  Dann gilt
+ \begin{equation*}
+  \bu \in H(\curl; \Omega)
+  \qquad \text{und} \qquad
+  (\curl \bu)|_{\Omega_i} = \curl \bu_i.
+ \end{equation*}
+
+ Sei $\bu_i \colonequals \bu|_{\Omega_i} \in H(\div; \Omega_i)$ und
+ $\bu_i \cdot \bn = \bu_j \cdot \bn$.  Dann gilt
+ \begin{equation*}
+  \bu \in H(\div; \Omega)
+  \qquad \text{und} \qquad
+  (\div \bu)|_{\Omega_i} = \div \bu_i.
+ \end{equation*}
+\end{lemma}
 
-\todo[inline]{Stetigkeit von Funktionen in $H(\curl)$ und $H(\div)$}
 
 \subsection{Die Helmholtz-Zerlegung}
 
@@ -5807,7 +5833,7 @@ unabhängig von $h$ konditioniert ist.)
 Falls $\bu$ ein Gradientenfeld ist, also $\bu = \nabla \varphi$
 für eine skalare Funktion $\varphi$, so ist
 \begin{equation*}
- (I - \nabla \div) \bu = (I - \Delta) \bu,
+ (I - \nabla \div) \bu = (I - \bm{\Delta}) \bu,
 \end{equation*}
 also $H^1$-elliptisch.
 
@@ -5821,15 +5847,25 @@ für alle $\bu = \nabla \varphi$ mit einer skalaren Funktion $\varphi$.
 
 Für ein Vektorfeld $\bu$ mit einem Vektorpotential $\ba$
 erhält man
-\todo[inline]{Ausrechnen!}
+\begin{align*}
+ (I - \curl \curl) \bu
+ & =
+ (I + \nabla \div + \bm{\Delta}) \bu
+ =
+ (I + \bm {\Delta}) \bu,
+\end{align*}
+da
+\begin{equation*}
+ \nabla \div \bu = \nabla \div \curl \ba = 0.
+\end{equation*}
+\todo[inline]{Hier ist das Vorzeichen anders als oben.  Sollte uns das Sorgen machen?}
+
 
 Funktionen mit einem skalaren Potential oder Vektorpotential
 spielen also eine besondere Rolle.  Kurioserweise lassen sich
 alle Vektorfelder so darstellen.
 
-\todo[inline]{Literatur mit einem Beweis der Helmholtz-Zerlegung}
-
-\begin{theorem}[Helmholtz-Zerlegung]
+\begin{theorem}[Helmholtz-Zerlegung, siehe z.B.\ \cite{girault_raviart:1986}]
  Auf einem Gebiet $\Omega$ in $\R^3$ mit $C^2$-Rand lässt sich jedes
  Vektorfold $\bu \in L^2(\Omega)^3$ darstellen als Summe
  \begin{equation*}
@@ -5837,9 +5873,36 @@ alle Vektorfelder so darstellen.
  \end{equation*}
  mit $\phi \in H^1(\Omega)$ und $\ba \in H(\curl)$.
 
- Diese Zerlegung ist $L^2$- und $H(\div)$-orthogonal.
+ Diese Zerlegung ist orthogonal im $L^2$-, $H(\curl)$ und $H(\div)$-Sinn.
 \end{theorem}
-\todo[inline]{Die Orthogonalitätsaussagen nachprüfen!}
+\begin{proof}
+ Wir zeigen nur die Orthogonalität.  Sei dazu $\bu = \nabla \phi + \curl \ba$.
+ Dann ist
+ \begin{equation*}
+  (\nabla \phi, \curl \ba)_{L^2} = -(\phi, \div \curl \ba)_{L^2} = 0.
+ \end{equation*}
+ Die Randterme der partiellen Integration verschwinden, weil in einem sehr
+ schwachen Sinn (siehe~\cite{girault_raviart:1986}) $\nabla \phi \cdot \bn = 0$.
+
+ Außerdem ist
+ \begin{align*}
+  (\nabla \phi, \curl \ba)_{H(\curl)}
+  & =
+  (\nabla \phi, \curl \ba)_{L^2}
+    + \int_\Omega \curl \nabla \varphi \cdot \curl \curl \ba\,dx
+  = 0 \\
+  %
+  (\nabla \phi, \curl \ba)_{H(\div)}
+  & =
+  (\nabla \phi, \curl \ba)_{L^2}
+    + \int_\Omega \div \nabla \varphi \cdot \div \curl \ba\,dx
+  = 0.
+  \qedhere
+ \end{align*}
+
+
+\end{proof}
+
 
 Man nennt diesen Satz auch den Hauptsatz der Vektoranalysis.