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Pipeline #6510 passed with stage
in 3 minutes and 20 seconds
......@@ -5758,13 +5758,17 @@ bzw.\ $\norm{\cdot}_\text{div}$.
\begin{lemma}
Die Bilinearform
\begin{equation*}
a_\textup{curl}(\cdot,\cdot) : H(\curl) \times H(\curl) \to \mathbb{C}
\qquad
a_\textup{curl}(\bu,\bv)
\colonequals
\int_\Omega \mu^{-1} \curl \bu \cdot \curl \bv\,dx + \int_\Omega \kappa \bu \cdot \bv,dx
\int_\Omega \mu^{-1} \curl \bu \cdot \curl \bar{\bv}\,dx
+ \int_\Omega \kappa \bu \cdot \bar{\bv},dx
\end{equation*}
ist $H(\curl)$-elliptisch wenn $\mu, \kappa > 0$.
ist \emph{sesquilinear}.
Sie ist $H(\curl)$-elliptisch wenn $\mu, \kappa \in \R$ und $\kappa > 0$
oder wenn $\kappa \notin \R$ (siehe~\cite{zaglmayr:2006}).
\end{lemma}
\todo[inline]{Was ist mit komplexen $\kappa$?}
Mit dem Satz von Lax--Milgram hat das $\curl \curl$-Problem damit eine
eindeutige Lösung in $H(\curl)$.
......@@ -5781,9 +5785,31 @@ können beide Parameter sehr klein oder sehr groß werden.
Es wird deshalb später wichtig, dass unsere Konvergenzresultate
unabhängig von $\mu$ und $\kappa$ sind.
\bigskip
\subsubsection{Stetigkeit von Funktionen in $H(\curl)$ und $H(\div)$}
Aus der partiellen Integration erhält man die folgende Charakterisierung:
\begin{lemma}
Sei $\Omega1, \dots, \Omega_m$ eine nichtüberlappende Zerlegung
von $\Omega$ mit Grenzflächen $\Gamma_{ij} = \partial \Omega_i \cap \partial \Omega_j$.
Sei $\bu_i \colonequals \bu|_{\Omega_i} \in H(\curl; \Omega_i)$ und
$\bu_i \times \bn = \bu_j \times \bn$. Dann gilt
\begin{equation*}
\bu \in H(\curl; \Omega)
\qquad \text{und} \qquad
(\curl \bu)|_{\Omega_i} = \curl \bu_i.
\end{equation*}
Sei $\bu_i \colonequals \bu|_{\Omega_i} \in H(\div; \Omega_i)$ und
$\bu_i \cdot \bn = \bu_j \cdot \bn$. Dann gilt
\begin{equation*}
\bu \in H(\div; \Omega)
\qquad \text{und} \qquad
(\div \bu)|_{\Omega_i} = \div \bu_i.
\end{equation*}
\end{lemma}
\todo[inline]{Stetigkeit von Funktionen in $H(\curl)$ und $H(\div)$}
\subsection{Die Helmholtz-Zerlegung}
......@@ -5807,7 +5833,7 @@ unabhängig von $h$ konditioniert ist.)
Falls $\bu$ ein Gradientenfeld ist, also $\bu = \nabla \varphi$
für eine skalare Funktion $\varphi$, so ist
\begin{equation*}
(I - \nabla \div) \bu = (I - \Delta) \bu,
(I - \nabla \div) \bu = (I - \bm{\Delta}) \bu,
\end{equation*}
also $H^1$-elliptisch.
......@@ -5821,15 +5847,25 @@ für alle $\bu = \nabla \varphi$ mit einer skalaren Funktion $\varphi$.
Für ein Vektorfeld $\bu$ mit einem Vektorpotential $\ba$
erhält man
\todo[inline]{Ausrechnen!}
\begin{align*}
(I - \curl \curl) \bu
& =
(I + \nabla \div + \bm{\Delta}) \bu
=
(I + \bm {\Delta}) \bu,
\end{align*}
da
\begin{equation*}
\nabla \div \bu = \nabla \div \curl \ba = 0.
\end{equation*}
\todo[inline]{Hier ist das Vorzeichen anders als oben. Sollte uns das Sorgen machen?}
Funktionen mit einem skalaren Potential oder Vektorpotential
spielen also eine besondere Rolle. Kurioserweise lassen sich
alle Vektorfelder so darstellen.
\todo[inline]{Literatur mit einem Beweis der Helmholtz-Zerlegung}
\begin{theorem}[Helmholtz-Zerlegung]
\begin{theorem}[Helmholtz-Zerlegung, siehe z.B.\ \cite{girault_raviart:1986}]
Auf einem Gebiet $\Omega$ in $\R^3$ mit $C^2$-Rand lässt sich jedes
Vektorfold $\bu \in L^2(\Omega)^3$ darstellen als Summe
\begin{equation*}
......@@ -5837,9 +5873,36 @@ alle Vektorfelder so darstellen.
\end{equation*}
mit $\phi \in H^1(\Omega)$ und $\ba \in H(\curl)$.
Diese Zerlegung ist $L^2$- und $H(\div)$-orthogonal.
Diese Zerlegung ist orthogonal im $L^2$-, $H(\curl)$ und $H(\div)$-Sinn.
\end{theorem}
\todo[inline]{Die Orthogonalitätsaussagen nachprüfen!}
\begin{proof}
Wir zeigen nur die Orthogonalität. Sei dazu $\bu = \nabla \phi + \curl \ba$.
Dann ist
\begin{equation*}
(\nabla \phi, \curl \ba)_{L^2} = -(\phi, \div \curl \ba)_{L^2} = 0.
\end{equation*}
Die Randterme der partiellen Integration verschwinden, weil in einem sehr
schwachen Sinn (siehe~\cite{girault_raviart:1986}) $\nabla \phi \cdot \bn = 0$.
Außerdem ist
\begin{align*}
(\nabla \phi, \curl \ba)_{H(\curl)}
& =
(\nabla \phi, \curl \ba)_{L^2}
+ \int_\Omega \curl \nabla \varphi \cdot \curl \curl \ba\,dx
= 0 \\
%
(\nabla \phi, \curl \ba)_{H(\div)}
& =
(\nabla \phi, \curl \ba)_{L^2}
+ \int_\Omega \div \nabla \varphi \cdot \div \curl \ba\,dx
= 0.
\qedhere
\end{align*}
\end{proof}
Man nennt diesen Satz auch den Hauptsatz der Vektoranalysis.
......
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