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Alle gefunden von Robin Fränzel.  Vielen Dank!
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......@@ -295,7 +295,7 @@ Dann hat die Variationsgleichung
a(u,v) = \ell(v)
\qquad v \in H
\end{equation*}
for jedes $\ell \in H'$ eine eindeutig bestimmte Lösung.
für jedes $\ell \in H'$ eine eindeutig bestimmte Lösung.
\end{theorem}
......@@ -1657,7 +1657,7 @@ Wie gut ist das Verfahren in der Praxis?
Wieder das Modellproblem
\begin{alignat*}{2}
- \Delta u & = 1 & \qquad & \text{auf $\Omega \colonequals (0,1)^2$} \\
u & 0 & & \text{auf $\partial \Omega$},
u & = 0 & & \text{auf $\partial \Omega$},
\end{alignat*}
mit einem strukturierten Gitter.
......@@ -2127,7 +2127,7 @@ des $\R^N$ definiert worden. Wir brauchen sie aber auch für Finite-Elemente-Fu
Um die $h$-Abhängigkeit richtig zu sehen brauchen wir die skalierte Steifigkeitsmatrix
\begin{equation*}
A_h \colonequals h^d A,
A_h \colonequals h^{-d} A,
\qquad
\text{also}
\qquad
......@@ -4275,7 +4275,7 @@ gehört.
Wir definieren den abstrakten Mehrgitter-Operator $\Theta_{J}$ rekursiv:
\begin{itemize}
\item $\Theta_1 \colonequals A_{1}^{-1}$.
\item Für $j=1,\dots ,J$ sei $\Theta_j$ definiert über
\item Für $j=2,\dots ,J$ sei $\Theta_j$ definiert über
\begin{algorithm}[H]\label{MGVerfahrenAlg}
\DontPrintSemicolon
......@@ -6299,7 +6299,7 @@ Transformationseigenschaften besitzt.
\begin{definition}[kovariante Piola-Transformation]\label{rtPiola}
Seien $K$ und $\hat{K}$ zwei beliebige nicht degenerierte, affine Tetraeder.
Sei $\bF:\hat{K}\to K$ eine lineare Abbildung mit $\bF\bv=\bB\bv +\bb$.
Sei $\bF:\hat{K}\to K$ eine lineare Abbildung mit $\bF\hat{\bx}=\bB\hat{\bx} +\bb$.
Definiere die \emph{kovariante Piola-Transformation} von $\hat{\bv}\in\bm{\Sigma}_{k}^{\hat{K}}$ durch
\begin{equation}
\bv(\bx) = \frac{1}{\det\bB} \bB\hat{\bv}(\bF^{-1}(\bx)).
......@@ -6595,7 +6595,7 @@ enthält keine Terme höchster Ordnung.}
\begin{remark}
Für die Freiheitsgrade vom Type~II identifizieren wir den zweidimensionalen Vektor $\bq_{f,i}$ mit einem entsprechendem dreidimensionalem Vektor aus dem Tangentialraum der Seite $f$ .
Für die Freiheitsgrade vom Typ~II identifizieren wir den zweidimensionalen Vektor $\bq_{f,i}$ mit einem entsprechendem dreidimensionalem Vektor aus dem Tangentialraum der Seite $f$ .
Dies genügt, da für zwei Vektoren $\bu,\bn\in \R^3$
\begin{equation*}
(\bu \times \bn)\cdot \bn = 0
......@@ -6652,10 +6652,10 @@ Damit ist sichergestellt, dass eine duale Basis zu $M^K_{k}$ existiert.
\begin{definition}[kontravariante Piola-Transformation]\label{nedelecPiola}
Seien $K$ und $\hat{K}$ zwei beliebige nicht degenerierte, affine Tetraeder.
Sei $\bF:\hat{K}\to K$ eine lineare Abbildung mit $\bF\bv=\bB\bv +\bb$.
Sei $\bF:\hat{K}\to K$ eine lineare Abbildung mit $\bF\hat{\bx} = \bB\hat{\bx} +\bb$.
Definiere die \textit{kontravariante Piola-Transformation} von $\hat{\bv}\in\bm{\Xi}_{k}^{\hat{K}}$ durch
\begin{equation}
\bq(\bx) = \bB^{-T} \hat{\bq}(\bF^{-1}(\bx)),\quad \hat{\bq}\in \bm{\Xi^{\hat{K}}}.
\bv(\bx) = \bB^{-T} \hat{\bv}(\bF^{-1}(\bx)),\quad \hat{\bv}\in \bm{\Xi^{\hat{K}}}.
\end{equation}
\end{definition}
......@@ -6724,7 +6724,7 @@ Definiere die Menge
\begin{equation}\label{defQh}
\bQ_{h}
\colonequals
\set[\Big]{\bv\in \bm{\Sigma}_{k}^{\T_{h}}\ :\ \forall f\in \F_{h}\backslash\d\Omega: ([[\bv]]_{f}\times \bn) |_f = 0 }
\set[\Big]{\bv\in \bm{\Xi}_{k}^{\T_{h}}\ :\ \forall f\in \F_{h}\backslash\d\Omega: ([[\bv]]_{f}\times \bn) |_f = 0 }
\end{equation}
ist eine Teilmenge von $\bH(\curl)$.
\end{theorem}
......@@ -8369,7 +8369,7 @@ Die zu den Bilinearformen gehörigen Differentialoperatoren sind
Funktionen Eigenfunktionen von $A^d$ zum Eigenwert $\rho^2$;
diese können hochoszillativ sein.
Ein \glqq normaler\grqq{} Glätter entfernt aber genau die Anteil des Fehlers
Ein \glqq normaler\grqq{} Glätter entfernt aber genau die Anteile des Fehlers
mit hohen Eigenwerten.
\item Gleichzeitig verhält sich $A^d$ insgesamt nicht wie die Identität:
......
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